基础——数的进制
第1小节：二进制——正整数
前面的基础课，我们了解到：数据在程序运行时，需要放到内存里。并且知道，数据占用的最小内存空间是一个字节(Byte)；而一个字节里面，又可以分成8位（bit)。这一节课，我们就从“位/bit”讲起。
建议阅读：《理解——什么是计算机语言》,了解为什么计算机采用二进制表达数据？等等相对基础的概念。
位／bit
“个位上1,表示1个1；十位上的1,表示1个10；百位上的1,表示1个100……”
小学课上，算术老师曾经这样语重心长地教过我们。今天，也让我心语心长一下，对于二进制，我们这样描述它的“位”：
0位上的1,表示1个1；
1位上的1,表示1个2；
2位上的1,表示1个4；
3位上的1,表示一个8；
……
现在请问：4位上的1,表示一个什么？
数学好一些的同学，可能脱口而出：16。为什么？因为16 = 2 * 2 * 2 * 2, 是2的4次方。还不够直观？
0位上的1,表示 2的0次方，即：1；（中学时学过：任何数的0次方值为1, 没忘记吧？）
1位上的1,表示 2的1次方，即：2；
2位上的1,表示 2的2次方, 即：4；
3位上的1,表示 2的3次方，即：8；
4位上的1,表示 2的4次方，即：16；
……
每一位上的1所表示的值，我们称为该位的“权”值。类似“科长、局长、部长”一样，同样是1,它的权越大，它的价值就越大？（思想有问题，请大家批斗我）。
（作业：请写出一个字节中，5～7位的权值表示）。
做一下10进制数与2进制数表达上的一些不同：
- 十进制数的位，通常从右到左这样称呼：个位，十位，百位，千位……
二进制数的位，从右到左，从0开始，依次向上称呼为：第0位，第1位，第2位……
- 十进制数的权值基数是10。所以个位为10的0次方(1)，十位为十的1次方（10），百位为十的2次方（100）……
二进制数的权值基数是2,所以……
- 十进制数用到10个阿拉伯数，分别是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，逢10进1。
二进制数用到2个阿拉伯数，分别是：0、1，逢2进1。
二进制换算成十进制
既然我们知道如何计算二进制数上各个位的权值，事实上也就等于知道如何把一个二进制数换算成十进制数了。比如：
例一
设有二进制数：01001000，换算成10进制数的过程：
（通常，为了不看花眼，通常我们把二进数按4个为一组，拆开看：0100 1000。）
3位上是1,表示2的3次方，得：8；
6位上是1,表示2的6次方，得：64；
8＋64,得：72。
例二
让我们给出一个更完整的计算过程：
设有二进制数： 0110 0100， 要换算成十进制，让我们列一个竖式：
第0位 |
0 |
* |
20 |
= |
0 |
|
第1位 |
0 |
* |
21 |
= |
0 |
|
第2位 |
1 |
* |
22 |
= |
4 |
|
第3位 |
0 |
* |
23 |
= |
0 |
|
第4位 |
0 |
* |
24 |
= |
0 |
|
第5位 |
1 |
* |
25 |
= |
32 |
|
第6位 |
1 |
* |
26 |
= |
64 |
|
第7位 |
0 |
* |
27 |
= |
0 |
+ |
|
| |
|
|
|
|
100 |
|
因为0无论加以几次方的运算，结果仍为0,所以我们可以简化为：
1*22+1*23+1*25+1*26=100
没有理由你还不会这个换算过程吧？现场作业来了！
(作业：
请计算以下二进制数对应的的十进制值(不考虑负数的情况)：
0000 0010 |
0000 0100 |
000 01000 |
000 10000 |
1000 0000 |
000 01010 |
)
十进制换算成二进制
给一个十进制数，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？
10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：
把要转换的数，除以2，得到商和余数，
将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果.
听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要将十进制的6换算二进制。
“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。
要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。 不要告诉我你不会计算6÷3 :(
“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是3，还不是0，所以继续除以2: 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。
“将商继续除以2，直到商为0……”
现在商是1，还不是0，所以继续除以2: 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1 （拿笔纸算一下，1÷2是不是商0余1 ?）
“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
好极！现在商已经是0。
我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！
6转换成二进制，结果是110。
把上面的一段改成用表格来表示，则为：
| 被除数 |
计算过程 |
商 |
余数 |
| 6 |
6÷2 |
3 |
0 |
| 3 |
3÷2 |
1 |
1 |
| 1 |
1÷2 |
0 |
1 |
(6换算成2进制的计算过程)
÷ 看上去蛮可爱的，不过，在C/C++以及其它大多数计算机语言中，除法运算符采用 / 来表示。比如6除以2,写成C＋＋语句就是： 6/2。也许你对这个斜杠的长相抱有成见，但能怎么办呢？在键盘上，并没有÷这个字符。
类似，乘号在C／C++语中，采用 * 来表示——虽然字母X看上去更像一个乘号。 |
难道我每次要换算时，都需要画一张表？我们在计算时，更通常的方法是画下面的图：
（6转换为二进制）
（作业：请大家立即动手，找纸找笔，用上图的方式，将十进制数6换算成二进制数）。
不管你有没有完成现场作业，现在，当有人提到110这个数时，你的脑海里不再应该仅仅想到巡警。
今天课程中只讲到正整数在十进制与二进制的互换。对于负整数，以与小数，如何在二者之间进行换算是相对复杂的内容。将在后面的课程中讲解。 |
作业：
1、将以下二进制数换算成十进制：
1110 0101 |
0000 1111 |
1111 0000 |
1111 1110 |
0000 0000 |
1111 1111 |
2、将以下十进制数，换算成二进制：
5 |
7 |
2 |
12 |
127 |
200 |
225 |
250 |
300 |
3、点击windows的“开始”按钮，选择程序菜单的“附件”菜单组，找到“计算器”。运行计算器后，选计算器程序的“视图”主菜单，确保选中“科学型”。然后学会使用该计算器来换算10进制整数与二进制之间的互相换算。并验算前面的作业。 |
